Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = \sin (x)$ . Alors $d u_{1} = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

Étape 2

Laissez $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.4

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.1.9.2

Divisez $\sec^{2} (t)$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Simplifiez

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Étape 3.2.1.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.2.1.2

Associez $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 3.2.1.3

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

Étape 3.2.1.4

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

Étape 3.2.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Étape 3.2.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Étape 3.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ par $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $\sec^{3} (t)$ par $\sec (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.4.1

Déplacez $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.3.4.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{3} (t)$ .

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Étape 3.2.3.4.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.3.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

Étape 4

Comme $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sec (t)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (t)$ comme $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 7

Laissez $u_{2} = \tan (t)$ . Alors $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = \tan (t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Étape 7.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Multipliez $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 9.2

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par ${u_{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Étape 9.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ et $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.4

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.5

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.6

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.7.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.7.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.9

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Étape 14.2.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

Étape 14.2.13

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

Étape 14.2.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

Étape 14.2.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

Étape 14.2.16

Additionnez $\frac{8}{15}$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

Étape 14.2.17

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ par $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

Étape 14.2.18

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

Étape 14.2.19

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

Étape 14.2.20

Annulez le facteur commun à $8$ et $30$ .

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Étape 14.2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

Étape 14.2.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30 \sqrt{8}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Étape 14.2.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Étape 14.2.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 15.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 15.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 15.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

Étape 15.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $30$ .

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Étape 15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

Étape 15.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Étape 15.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Étape 15.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Étape 15.5

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 15.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Étape 15.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{15}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{15}$

Forme décimale :

$0.1\overline{3}$