Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (5 x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{5 x^{2}}$ et $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Étape 1.4.8

Multipliez $\ln (5 x^{2})$ par $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (5 x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.6

Associez $10$ et $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{10}{5 x^{2}}$ et $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.8

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 2.2.8.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.9

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.9.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.10

Associez $2$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{4}{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$