Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{3}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.5

Associez $\frac{15}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $10$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5

Associez $\frac{12}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.6.2.4

Divisez $6 x^{3}$ par $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Associez $\frac{3}{10}$ et $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Étape 4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Étape 4.3.2.2.4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Étape 4.3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Étape 4.3.2.4.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Étape 4.3.2.4.3

Soustrayez $10$ de $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Étape 4.3.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Étape 4.3.2.5

La réponse finale est $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ est $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $6$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 7.986$ et $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $6.6$ de $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.066$ .

$- 0.066$

Étape 6.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $- 0.066$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.6

Associez $3$ et $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.14.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Étape 7.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Étape 7.2.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 7.2.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Étape 7.2.1.16

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Étape 7.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.2.1

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Étape 7.2.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.5.1

Additionnez $- 3$ et $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Étape 7.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 7.3

Sur $- \frac{1}{2}$ , la dérivée seconde est $- 0.75$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1, 0)$

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $6$ par $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $6$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $0.006$ et $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0.126$ et $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.726$ .

$0.726$

Étape 8.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $0.726$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Étape 10