Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{\ln (x) - \ln (5)}{x - 5}$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\ln (\frac{x}{5})}{x - 5}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} \ln (\frac{x}{5})}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 5} \frac{x}{5})}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{\ln (\frac{x}{5})}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{5}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1 \frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.4

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{5}{x} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5}{x}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.9

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 2.3.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Étape 2.3.13

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{1}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{5}$

Forme décimale :

$0.2$