Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Étape 2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $e^{y}]_{- 1}^{1}$ et $2 y]_{- 1}^{1}$ .

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $e^{y} + 2 y$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Étape 7.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

Étape 7.2.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

Étape 7.2.3.11

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Étape 7.2.3.12

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Étape 7.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Étape 7.2.3.14.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Étape 7.2.3.15

Pour écrire $- (e^{- 1} - 2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.16

Associez $- (e^{- 1} - 2)$ et $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.18

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

Étape 8.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Étape 8.1.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Étape 8.1.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

Étape 8.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

Étape 8.1.1.6

Additionnez $4$ et $6$ .

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

Étape 8.1.1.7

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Étape 8.1.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

Étape 8.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{10 e - 3}{e}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

Étape 8.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.2

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.3

Associez $e$ et $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.5.2

Multipliez $3 e e$ .

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Étape 8.5.2.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.5.2.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 8.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Forme décimale :

$5.68373572 \dots$

Étape 10