Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n})$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Multipliez $1 + \frac{i}{n}$ par $\frac{2}{n}$ .

$\frac{(1 + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{n + i}{n} \cdot 2}{n}$

Étape 1.3

Associez $\frac{n + i}{n}$ et $2$ .

$\frac{\frac{(n + i) \cdot 2}{n}}{n}$

Étape 1.4

Déplacez $2$ à gauche de $n + i$ .

$\frac{\frac{2 (n + i)}{n}}{n}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$ .

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{2 (n + i)}{n}$ par $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n}$

Étape 1.6.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n}$

Étape 1.6.3

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n^{1}}$

Étape 1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (n + i)}{n^{1 + 1}}$

Étape 1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Étape 1.7

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Étape 2

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{2 (n + i)}{n^{2}}) (n)$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 4.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{2}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (n + i)}{n}$