Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{x}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2} e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $e^{x} (2 x)$ et $2 x e^{x}$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 2.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $4 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $x^{2} + 4 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 2 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{2} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 + \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2

Développez $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.5

La réponse finale est $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 2 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{2} e^{x}$ est $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Étape 4.3

Remplacez $- 2 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{2} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 - \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Réécrivez ${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2

Développez $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3.3

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.5

La réponse finale est $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{2} e^{x}$ est $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.51421356$ dans l’expression.

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.3

Associez $12.34969696$ et $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.4

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2.71828182$ à la puissance $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.6

Divisez $12.34969696$ par $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.9

Associez $- 14.05685424$ et $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.11

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.12

Élevez $2.71828182$ à la puissance $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.13

Divisez $14.05685424$ par $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $0.41848951$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Étape 6.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

Étape 6.2.1.16

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $0.41848951$ de $0.36766538$ .

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 0.05082413$ et $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.00871828$ .

$0.00871828$

Étape 6.3

Sur $- 3.51421356$ , la dérivée seconde est $0.00871828$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.4

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.6

Divisez $4$ par $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.9

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.11

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.12

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.13

Divisez $8$ par $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1.08268226$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Étape 7.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 7.2.1.16

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $1.08268226$ de $0.54134113$ .

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 0.54134113$ et $\frac{2}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.27067056$ .

$- 0.27067056$

Étape 7.3

Sur $- 2$ , la dérivée seconde est $- 0.27067056$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$

Diminue sur $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.48578643$ dans l’expression.

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $- 0.48578643$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.3

Associez $0.23598846$ et $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.4

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.6

Divisez $0.23598846$ par $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.9

Associez $- 1.94314575$ et $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.11

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.12

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.13

Divisez $1.94314575$ par $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1.19544887$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Étape 8.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

Étape 8.2.1.16

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $1.19544887$ de $0.14518321$ .

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 1.05026566$ et $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.18016069$ .

$0.18016069$

Étape 8.3

Sur $- 0.48578643$ , la dérivée seconde est $0.18016069$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Étape 10