Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Alors $d u_{1} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\tan^{4} (u_{1})$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u_{1})$ comme $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ comme $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ .

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$