Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{x} - 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} - 1$ .

$2 (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$2 (e^{x} - 1) e^{x}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 e^{x} + 2 \cdot - 1) e^{x}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{x} e^{x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$2 (e^{x} e^{x}) + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Étape 5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 e^{x + x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Étape 5.3.1.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x}$