Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 14

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 15

Pour écrire ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 16

Associez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.1

Simplifiez ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$2 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$2 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Associez $2$ et $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$