Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $4 \cos (x) \sin (x)$ à partir de $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4 \cos (x) \sin (x)$ à partir de $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 4.1.2

Factorisez $4 \cos (x) \sin (x)$ à partir de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 4.1.3

Factorisez $4 \cos (x) \sin (x)$ à partir de $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Étape 4.5

Réorganisez les termes.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Étape 4.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$