Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} (\frac{12}{x^{2}} - 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$12 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + - x]_{1}^{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1}) + - x]_{1}^{2}$

Étape 7.2

Évaluez $- x$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 (- 2^{- 1} + 1^{- 1}) + - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 (- \frac{1}{2} + 1) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$12 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 \frac{- 1 + 2}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.6

Associez $12$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{12}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.7

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 7.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.7.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 - 2 + 1 \cdot 1$

Étape 7.3.9

Multipliez $1$ par $1$ .

$6 - 2 + 1$

Étape 7.3.10

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$6 - 1$

Étape 7.3.11

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5$

Étape 8