Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Étape 4

Laissez $u = y + 2$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Étape 4.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.6

Associez $\frac{2}{3}$ et $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.7.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 7.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 7.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Étape 7.3.11

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Étape 7.3.12

Pour écrire $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.13.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.13.3

Multipliez $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.13.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Étape 7.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Étape 7.3.15

Déplacez $2$ à gauche de $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2

Multipliez $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez le signe négatif.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2.2

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.2.6

Additionnez $2$ et $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 9.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Étape 9.4

Additionnez $3$ et $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Forme décimale :

$0.71895141 \dots$

Étape 11