Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{π} \sin (π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

Étape 3.6

Associez $\cos (π x)$ et $\frac{1}{π}$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

Étape 3.7

Associez $\frac{\cos (π x)}{π}$ et $π$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Étape 3.8.2

Divisez $\cos (π x)$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$