Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $9$ par $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10.3

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 10.6

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 + 0}}$

Étape 10.7

Additionnez $9 + 0$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0}}$

Étape 10.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 10.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Étape 10.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 10.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{\sqrt{9}}$

Étape 10.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 10.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$