Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$