Calcul infinitésimal Exemples

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 7.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 7.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Étape 14.2

Évaluez $\frac{u^{5}}{5}$ sur $0$ et sur $1$ .

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.4

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 14.3.8.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Étape 14.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Étape 14.3.10

Soustrayez $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Étape 14.3.11

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Étape 14.3.12

Pour écrire $- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 14.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 14.3.13.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 14.3.13.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Étape 14.3.13.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Étape 14.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

Étape 14.3.15

Soustrayez $3$ de $5$ .

$2 (\frac{2}{15})$

Étape 14.3.16

Associez $2$ et $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

Étape 14.3.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{15}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{15}$

Forme décimale :

$0.2\overline{6}$

Étape 16