Calcul infinitésimal Exemples

$x \sin (x d x)$

Étape 1

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Étape 1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x \sin (d (x^{1} x)) d x$

Étape 1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x \sin (d (x^{1} x^{1})) d x$

Étape 1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x \sin (d x^{1 + 1}) d x$

Étape 1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x \sin (d x^{2}) d x$

Étape 2

Laissez $u = d x^{2}$ . Alors $d u = 2 \cdot x d \cdot d x$ , donc $\frac{1}{2 d} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = d x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $d x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [d x^{2}]$

Étape 2.1.2

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $d x^{2}$ par rapport à $x$ est $d \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$d \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$d (2 x)$

Étape 2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$2 d x$

Étape 2.1.5

Remettez dans l’ordre $2 d$ et $x$ .

$x (2 d)$

Étape 2.1.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \cdot x d$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{2 d} d u$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2 d}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2 d} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2 d}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 d}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2 d} \int \sin (u) d u$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 d} (- \cos (u) + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Simplifiez

$\frac{1}{2 d} (- \cos (u)) + C$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2 d}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{2 d} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $d x^{2}$ .

$- \frac{\cos (d x^{2})}{2 d} + C$