Calcul infinitésimal Exemples

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2

Soustrayez $e^{2 x}$ de $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

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Étape 1.1.4.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $e^{2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $2 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 7$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Évaluez $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{7}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.1.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Étape 4.1.2.2.4.2

Soustrayez $6$ de $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{7} \cdot 2$

Étape 4.1.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Étape 5