Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Étape 1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Étape 2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Réécrivez.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Étape 3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Étape 3.3

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Étape 3.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Étape 3.5.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Étape 3.5.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Étape 3.7.2

Multipliez $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ par $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Étape 3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Étape 3.9

Évaluez la limite.

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Étape 3.9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- t$ et sur $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Étape 3.9.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Étape 3.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Étape 3.9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 3.10

Comme l’exposant $- t$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t}$ approche de $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 3.11

Évaluez la limite.

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Étape 3.11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 3.11.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.11.2.1

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.11.2.2.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.11.2.2.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.11.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Étape 3.11.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$