Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant l’intégration par parties. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 2) u^{4} d u$

Étape 3

Multipliez $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

Étape 4

Multipliez $u$ par $u^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $u$ par $u^{4}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$