Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{(2 x^{2} + 4 x - 3)}{x^{2}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2} d x$

Étape 3

Développez $(2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 x^{2} + 4 x) x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x^{2} x^{- 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{2 - 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 2 x^{0} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 2 \cdot 1 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 2 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 + 4 (x^{1} x^{- 2}) - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 + 4 x^{1 - 2} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int 2 + 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.10

Remettez dans l’ordre $2$ et $4 x^{- 1}$ .

$\int 4 x^{- 1} + 2 - 3 x^{- 2} d x$

Étape 3.11

Déplacez $2$ .

$\int 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} + 2 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Étape 10

Simplifiez

$4 \ln (| x |) + \frac{3}{x} + 2 x + C$