Calcul infinitésimal Exemples

$\int 20 \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Étape 1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$20 \int \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x - 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$20 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$20 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$20 (\frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $20$ .

$\frac{20}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ comme $\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{20}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{60}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{60}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun à $60$ et $12$ .

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Étape 7.2.4.1

Factorisez $12$ à partir de $60$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 5}{12 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 2$ .

$5 {(3 x - 2)}^{\frac{4}{3}} + C$