Calcul infinitésimal Exemples

Associez ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et ${\displaystyle x}$.

Comme ${\displaystyle 8}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 8\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 8\frac{d}{dx}\left[\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})\right]}$.

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

La dérivée de ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$ par rapport à ${\displaystyle u}$ est ${\displaystyle -\sin \left(u\right)}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 8}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi x}{4}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{\pi }{2}]}$.

Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Simplifiez les termes.

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

La dérivée de ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ par rapport à ${\displaystyle u}$ est ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi x}{4}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{\pi }{2}]}$.

Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Associez les fractions.

Factorisez ${\displaystyle 2}$ à partir de ${\displaystyle -2{\pi }^2\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})}$.

Annulez les facteurs communs.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle -2}$.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle \pi }$.

Annulez le facteur commun à ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle -2}$.

Divisez ${\displaystyle 0}$ par ${\displaystyle -\pi }$.

Simplifiez ${\displaystyle \frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi x}{4}}$.

Simplifiez ${\displaystyle \frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}}$.

Ajoutez ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

Pour écrire ${\displaystyle \pi }$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Associez ${\displaystyle \pi }$ et ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

Factorisez ${\displaystyle 2}$ à partir de ${\displaystyle \pi \left(2\right)}$.

Annulez les facteurs communs.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Soustrayez ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle \pi }$.

Divisez ${\displaystyle 0}$ par ${\displaystyle 2}$.

La valeur exacte de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 1}$.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle 2}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Soustrayez ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle \pi }$.

Divisez ${\displaystyle 0}$ par ${\displaystyle 2}$.

La valeur exacte de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle 8}$ par ${\displaystyle 1}$.

La réponse finale est ${\displaystyle 8}$.

Factorisez ${\displaystyle 2}$ à partir de ${\displaystyle \pi \left(6\right)}$.

Annulez les facteurs communs.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Déplacez ${\displaystyle 3}$ à gauche de ${\displaystyle \pi }$.

Soustrayez ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle 3\pi }$.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle 2}$.

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

La valeur exacte de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 1}$.

Déplacez ${\displaystyle -1}$ à gauche de ${\displaystyle {\pi }^2}$.

Placez le signe moins devant la fraction.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle -1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Simplifiez chaque terme.

Simplifiez les termes.

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.