Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} (2 x^{3} - 4 x^{- 2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 \int_{1}^{3} x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Étape 8.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{81 - 1}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.4

Soustrayez $1$ de $81$ .

$2 (\frac{80}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$2 \frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{20}{1}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$2 \cdot 20 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.6

Multipliez $2$ par $20$ .

$40 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1)$

Étape 8.3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3})$

Étape 8.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$40 - 4 \frac{- 1 + 3}{3}$

Étape 8.3.11

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$40 - 4 (\frac{2}{3})$

Étape 8.3.12

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$40 + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Étape 8.3.13

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$40 + \frac{- 8}{3}$

Étape 8.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$40 - \frac{8}{3}$

Étape 8.3.15

Pour écrire $40$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 8.3.16

Associez $40$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 8.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{40 \cdot 3 - 8}{3}$

Étape 8.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.18.1

Multipliez $40$ par $3$ .

$\frac{120 - 8}{3}$

Étape 8.3.18.2

Soustrayez $8$ de $120$ .

$\frac{112}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{112}{3}$

Forme décimale :

$37.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$37 \frac{1}{3}$

Étape 10