Calcul infinitésimal Exemples

$4 e^{x} + 4 e^{- x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e^{- x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{- x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$4 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$4 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{x} + 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$4 e^{x} + 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{x} + 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{x} + 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{x} + 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{x} + 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x}$