Calcul infinitésimal Exemples

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Vérifiez que la solution donnée respecte l’équation différentielle.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Étape 1.1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Réorganisez les facteurs de $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Étape 1.1.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Étape 1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Étape 1.4

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = c e^{x^{2}}$ est une solution à $y' = 2 x y$

Étape 2

Remplacez dans la condition initiale.

$1 = c e^{0^{2}}$

Étape 3

Résolvez $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $c e^{0^{2}} = 1$ par $e^{0^{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $c e^{0^{2}} = 1$ par $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{0^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Étape 3.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Étape 3.2.3.2

Divisez $1$ par $1$ .

$c = 1$