Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$ comme ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = {(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 7.2.2

Placez ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x - 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x - 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + 0)$

Étape 9.8

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.8.1

Additionnez $6 (3 x - 2)$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2))$

Étape 9.8.2

Associez $6$ et $\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Étape 9.8.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Étape 10

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})} (3 x - 2)$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${(3 x - 2)}^{2}$ comme $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{((3 x - 2) (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.2

Développez $(3 x - 2) (3 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $9 x^{2} - 12 x + 4 - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $9 x^{2} - 12 x$ et $0$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.3

Multipliez $3 x - 2$ par $\frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(3 x - 2) \cdot 3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.4

Déplacez $3$ à gauche de $3 x - 2$ .

$\frac{3 (3 x - 2)}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$