Calcul infinitésimal Exemples

$- y + 2 x y = - 3 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- y' + 2 (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- y' + 2 x y' + 2 y$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y' + 2 y - y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y' - y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y'$ .

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ par $2 x - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ par $2 x - 1$ .

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$