Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{n} {(a + b x)}^{m}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{n}$ et $g (x) = {(a + b x)}^{m}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{m}] + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{m}$ et $g (x) = a + b x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a + b x$ .

$x^{n} (\frac{d}{d u} [u^{m}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = m$ .

$x^{n} (m u^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a + b x$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + b x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (0 + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.4

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \frac{d}{d x} [x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \cdot 1)) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.6

Multipliez $b$ par $1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} (n x^{n - 1})$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$ .

$b m x^{n} {(a + b x)}^{m - 1} + n x^{n - 1} {(a + b x)}^{m}$