Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 1

Comme $70$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ par $1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 3 t^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 (3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $3 t^{2} + 8$ à partir de ${(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $3 t^{2} + 8$ à partir de ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 t^{2} + 8$ à partir de $- 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 t^{2} + 8$ à partir de $(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $3 t^{2} + 8$ à partir de ${(3 t^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 10

Multipliez $2$ par $3$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 11

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 12.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 13

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 14

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{2}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 17

Soustrayez $12 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$70 \frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 18

Associez $70$ et $\frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Multipliez $- 9$ par $70$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.2.2

Multipliez $70$ par $8$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.3

Factorisez $70$ à partir de $- 630 t^{2} + 560$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.1

Factorisez $70$ à partir de $- 630 t^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.3.2

Factorisez $70$ à partir de $560$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.3.3

Factorisez $70$ à partir de $70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 t^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.5

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 t^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.7

Réécrivez $- (9 t^{2} - 8)$ comme $- 1 (9 t^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Étape 19.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{70 (9 t^{2} - 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$