Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Étape 1

Déterminez la limite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ lorsque $x$ approche de $2$ depuis le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté gauche.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.4

Placez la limite dans l’exposant.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.7

Placez le terme $a$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Étape 1.8

Évaluez la limite de $3 a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Étape 1.9

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Étape 1.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Étape 1.10

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Étape 1.10.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Étape 1.10.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Étape 1.10.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Étape 1.10.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Étape 1.10.2

Soustrayez $3 a$ de $2 a$ .

$4 - a$

Étape 2

Évaluez $x^{3} + a x^{2} + 5$ sur $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Étape 2.2

Évaluez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Étape 2.2.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Étape 2.2.2

Additionnez $8$ et $5$ .

$4 a + 13$

Étape 3

Comme la limite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ lorsque $x$ approche de $2$ depuis le côté gauche n’est pas égale à la valeur de la fonction sur $x = 2$ , la fonction n’est pas continue sur $x = 2$ .

Pas continu

Étape 4