Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Étape 8.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Étape 8.3.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Étape 8.3.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Étape 8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Étape 8.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Étape 8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Étape 8.8

Réécrivez $- (x \ln (x) - 1)$ comme $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$