Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \cos (2 t)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \cos (π)$

Étape 1.5.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 3

Multipliez $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.4

Multipliez $u_{2}$ par $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.5

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- \frac{1}{2} u_{2}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.4

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 9.3.8

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 9.3.9

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 9.3.10

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.3.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 9.3.13

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 9.3.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.14.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Étape 9.3.14.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 9.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 1}{4}$

Étape 9.3.16

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.75$