Calcul infinitésimal Exemples

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = - x + 6$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - x + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 1 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x + 6$ .

$u_{lower} = - 0 + 6$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$u_{lower} = 6$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x + 6$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

Étape 5.2.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

Étape 5.2.4.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$π (- (0 - 72))$

Étape 5.2.6

Soustrayez $72$ de $0$ .

$π (- - 72)$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 72$ .

$π \cdot 72$

Étape 5.2.8

Déplacez $72$ à gauche de $π$ .

$72 π$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$72 π$

Forme décimale :

$226.19467105 \dots$

Étape 7