Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Étape 1

Comme $44$ est constant par rapport à $x$ , placez $44$ en dehors de l’intégrale.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 4 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ est positif.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.4

Réécrivez $16 \sec^{2} (t)$ comme ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 \sec (t)$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $4 \sec (t)$ à partir de ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $4 \sec (t)$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ et $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{16}$ et $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $44$ et $16$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\sec (x)$ comme $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 6.2

Appliquez l’identité réciproque.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 6.3.2

Associez.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 6.3.3

Multipliez $\csc (t)$ par $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 6.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 6.3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 6.3.5

Associez $\cot (t)$ et $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 6.3.6

Réduisez l’expression $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 6.3.6.2

Factorisez $\cot (t)$ à partir de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 6.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 6.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Étape 6.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \csc (t)$ est $\csc (t) \cot (t)$ , l’intégrale de $\csc (t) \cot (t)$ est $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{11}{4}$ et $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{4})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{4})$ . Ainsi, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ est $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Étape 10.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.7

Réécrivez $\frac{16 + x^{2}}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

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Étape 10.1.7.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.7.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.7.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.9

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Étape 10.1.10

Associez.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Étape 10.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Étape 10.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Étape 10.2

Associez $11$ et $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Étape 10.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Étape 10.4

Associez.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Étape 10.5

Multipliez $11$ par $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Étape 10.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$