Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 4

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \csc (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \csc (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 6.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 6.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.3

Différenciez.

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Étape 6.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.3.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Étape 6.1.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Étape 9.2.4.2.4

Divisez $- 2 u_{2}$ par $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$