Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 5}{2}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.6

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{5} x$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- \frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{5}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{- 20}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.6

Associez $\frac{- 20}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 10 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.2.7.2.4

Divisez $- 10 x^{3}$ par $1$ .

$- 10 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.6

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.4.6.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Étape 2.5

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + 0$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Étape 2.6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{- 4}{x^{5}} + 0$

Étape 2.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}} + 0$

Étape 2.6.2.3

Additionnez $- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$ et $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$ .

$- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$