Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 + 5 x^{3}$ et $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Déplacez $5$ à gauche de $1 + 2 x$ .

$\frac{5 \cdot (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5 (1 + 2 x) (3 x^{2}) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2.14

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(15 \cdot 1 + 15 (2 x)) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $15$ par $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x)) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.4.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{2 + 1}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{3}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 10 x^{3}}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Soustrayez $10 x^{3}$ de $30 x^{3}$ .

$\frac{15 x^{2} + 20 x^{3} - 4}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$