Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x^{4} + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

Étape 4

Multipliez $(2 x^{4} + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x^{4} x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{4}) + 3 x^{- 2} d x$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{- 2 + 4} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 5.3

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$