Calcul infinitésimal Exemples

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Étape 1.3.2

Comme $\frac{2 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ par rapport à $x$ est $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Étape 1.3.3

Associez les fractions.

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Étape 1.3.3.1

Associez $\frac{2 π}{3}$ et $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Étape 1.3.3.3

Associez $\frac{- 20 π}{3}$ et $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Étape 1.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Étape 1.3.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Étape 1.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Étape 1.3.7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Associez $\frac{2 π}{3}$ et $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Étape 1.4.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Étape 1.4.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{20 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ et $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Étape 2.3.2

Déplacez $20$ à gauche de $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{2 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 π x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Étape 2.3.8

Associez les fractions.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $\frac{2 π}{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $20$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ par $20 π$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ par $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $20$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $20$ à partir de $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Étape 5.1.3.2

Divisez $0$ par $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Étape 5.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Étape 5.6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 5.6.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Étape 5.6.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Étape 5.6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Étape 5.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.6.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Étape 5.6.2.1.2.2

Factorisez $π$ à partir de $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Étape 5.6.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Étape 5.6.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 5.6.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.6.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 5.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Étape 5.8

Résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Étape 5.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.8.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Étape 5.8.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.8.2.3

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.8.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.2.5.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 5.8.2.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 5.8.4.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Étape 5.8.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Étape 5.8.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 5.8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.4.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 5.8.4.2.1.2.2

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Étape 5.8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Étape 5.8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Étape 5.8.4.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.4.2.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 5.9

La solution de l’équation est $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{- 2}{4}$ et $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Étape 7.3.3

Additionnez $- π$ et $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Étape 7.3.4

Divisez $0$ par $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Étape 7.3.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Étape 7.3.6

Multipliez $40$ par $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Étape 8

$x = - \frac{1}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{4}$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Étape 9.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Étape 9.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Étape 9.2.4

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Étape 9.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Étape 9.2.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Étape 9.2.5.3

Divisez $0$ par $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Étape 9.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Étape 9.2.7

Multipliez $10$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Étape 9.2.8

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{5 \cdot 2}{4}$ et $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.2.2

Réduisez l’expression $\frac{10 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Étape 11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Étape 11.3.3

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Étape 11.3.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Étape 11.3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Étape 11.3.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Étape 11.3.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Étape 11.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Étape 11.3.8

Multipliez $- 1$ par $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Étape 11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Étape 11.5

Multipliez $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

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Étape 11.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Étape 11.5.2

Multipliez $\frac{40 π^{2}}{9}$ par $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Étape 12

$x = \frac{5}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5}{4}$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5}{4}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Étape 13.2.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Étape 13.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Étape 13.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Étape 13.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Étape 13.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Étape 13.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Étape 13.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 13.2.5

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.6.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Étape 13.2.7

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Étape 13.2.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.9

Multipliez $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Étape 13.2.9.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Étape 13.2.10

La réponse finale est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ est un maximum local

$(\frac{5}{4}, - 10)$ est un minimum local

Étape 15