Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(\frac{8 + r}{r})}^{2} d r$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 + r}{r}$ .

$\int \frac{{(8 + r)}^{2}}{r^{2}} d r$

Étape 1.2

Retirez $r^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} {(r^{2})}^{- 1} d r$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{2 \cdot - 1} d r$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{- 2} d r$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 8 + r$ . Puis $d u_{1} = d r$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 8 + r$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $8 + r$ .

$\frac{d}{d r} [8 + r]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + r$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$

Étape 2.1.3

Comme $8$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $8$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 8)}^{- 2} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = u_{1} - 8$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = u_{1} - 8$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $u_{1} - 8$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 8]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} - 8$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Étape 3.1.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} + 8)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2}$ et ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Étape 5.3

Placez ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Étape 5.4

Réécrivez ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Étape 7.3

Retirez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Étape 7.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Étape 7.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Étape 7.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}$ comme $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)$ .

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.8

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ et $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.12.1

Annulez le facteur commun.

Étape 8.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.13

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.14

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.16

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.18

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.21

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.22.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.25

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.26.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.28

Additionnez $8 {u_{3}}^{- 1}$ et $8 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.29

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int 16 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 11

Comme $16$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (16 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 12

L’intégrale de ${u_{3}}^{- 1}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 13

Comme $64$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 16

Simplifiez

$\frac{1}{2} (16 \ln (| u_{3} |) - \frac{128}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - \frac{128}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} - 8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(u_{1} - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 + r$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez les termes opposés dans $16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 18.1.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(r + 0)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.1.2

Additionnez $r$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.1.3

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.1.4

Additionnez $r$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.1.5

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.1.6

Additionnez $r$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 18.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{1}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2.2.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18.2.3

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 18.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Étape 18.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Étape 18.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{1}) + C$

Étape 18.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r) + C$

Étape 18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2})) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4

Simplifiez

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Étape 18.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16 \ln (r^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{128}{r}$ dans le numérateur.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 128}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 128$ .

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 64)}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 r$ .

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 (r)) + C$

Étape 18.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Étape 18.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + r + C$

Étape 18.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 \ln (r^{2}) - \frac{64}{r} + r + C$