Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} - e^{5 y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 4 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{5 y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 5 y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Étape 3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Étape 3.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Étape 3.3.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Étape 5.3

Soustrayez $4 x' e^{4 x}$ des deux côtés de l’équation.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Étape 5.4

Soustrayez $x e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Étape 5.5

Factorisez $x'$ à partir de $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x'$ à partir de $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Étape 5.5.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Étape 5.5.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ par $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ par $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.3.5.1

Réécrivez $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ comme $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 5.6.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$