Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} + x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (5 x + 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x + 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $5 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{5}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (5 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $20$ par $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (- \frac{4}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{4}{5})$ dans la dérivée première $5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f' (- 3) = 5 \cdot 81 + 4 {(- 3)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $81$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 {(- 3)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 \cdot - 27$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f' (- 3) = 405 - 108$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $108$ de $405$ .

$f' (- 3) = 297$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $297$ .

$297$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.4$ , de l’intervalle $(- \frac{4}{5}, 0)$ dans la dérivée première $5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.4$ dans l’expression.

$f' (- 0.4) = 5 {(- 0.4)}^{4} + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 0.4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.4) = 5 \cdot 0.0256 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $0.0256$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 0.4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 \cdot - 0.064$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $- 0.064$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 - 0.256$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $0.256$ de $0.128$ .

$f' (- 0.4) = - 0.128$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 0.128$ .

$- 0.128$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = 5 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$f' (2) = 80 + 4 {(2)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 80 + 4 \cdot 8$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 80 + 32$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $80$ et $32$ .

$f' (2) = 112$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $112$ .

$112$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{4}{5}$ , $x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local.

$x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} + x^{4}$ .

$x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11