Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Alors $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , donc $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (8 x) - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $8$ à gauche de $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8 \sec^{2} (8 x)$ et $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Étape 2.2

Déplacez $8$ à gauche de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$