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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 1.2.1.1
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.2.1.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.
Étape 1.2.1.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.2.1.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.2.1.5
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.1.2
Multipliez .
Étape 1.2.3.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.3.2
Additionnez et .
Étape 1.2.3.3
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.3.4
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.2
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 1.3.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.3.5
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 1.3.5.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.5.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.6
Simplifiez la réponse.
Étape 1.3.6.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.3.6.1.1
Additionnez et .
Étape 1.3.6.1.2
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 1.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.6.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.3.7
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3
Étape 3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.4
Supprimez les parenthèses.
Étape 3.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.7
Additionnez et .
Étape 3.8
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.9
Multipliez par .
Étape 3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.11
Multipliez par .
Étape 3.12
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.13
Évaluez .
Étape 3.13.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.13.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.13.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 3.13.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.13.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.13.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.13.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.13.5
Additionnez et .
Étape 3.13.6
Multipliez par .
Étape 3.14
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 5
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 6
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 7
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.
Étape 8
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 9
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 10
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 11
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 12
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 13
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 14
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 15
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 16
Étape 16.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 16.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 17
Étape 17.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 17.1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 17.1.1.1
Multipliez par .
Étape 17.1.1.2
Multipliez .
Étape 17.1.1.2.1
Multipliez par .
Étape 17.1.1.2.2
Multipliez par .
Étape 17.1.2
Additionnez et .
Étape 17.1.3
La valeur exacte de est .
Étape 17.1.4
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 17.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 17.2.1
Additionnez et .
Étape 17.2.2
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 17.2.3
Additionnez et .
Étape 17.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 17.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 17.3.2
Annulez le facteur commun.
Étape 17.3.3
Réécrivez l’expression.