Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x^{2} y^{7}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.6

Déplacez $7$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 4 y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{5}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $5 x^{4} x'$ des deux côtés de l’équation.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $28 y^{6} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ par $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ par $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $4 y^{2}$ à partir de $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $4 y^{2}$ à partir de $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $4 y^{2}$ à partir de $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $4 y^{2}$ à partir de $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$