Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 4 x + 3}{x^{3} + x + 14}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Étape 10

Placez le terme $14$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12.1.4

Additionnez $0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $14$ par $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Étape 12.2.2

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Étape 12.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 12.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$