Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (3 x)}{4 \sin (4 x)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{3}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 2.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 2.3.7.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 2.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 2.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Étape 2.3.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Étape 2.3.11

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{4 \cos (4 x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{3}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (4 x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Étape 3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Étape 3.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{16} \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $1$ .

$\frac{9}{16}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{16}$

Forme décimale :

$0.5625$