Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{- 3}{6}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.5

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{- 3}{6}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Étape 1.4

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

Étape 2.3.9

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

Étape 2.3.10

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

Étape 2.3.11

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

Étape 2.3.12

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Étape 2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

Étape 2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Étape 2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + \frac{2}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$